Доказательство теоремы косинусов через косинус суммы

[Samuraiii]

Доказательство мое, больше нигде не нашел

a b c - стороны

A B C - углы(если кто любит придираться, то все даны в градусах)

h - высота

c = d + e

В данном треугольнике:

cosB = d/a, sinB = h/a

cosA = e/b, sinA = h/b

Угол С = 180 - (A + B)

Тогда cosC =cos(180 - (A + B)) 

cos(180 - (A + B)) = -cos(A+B)

Наглядно можно увидеть на тригонометрической окружности, если кто не шарит:

cos(A+B) = cos(A)*cos(B) - sin(A)*sin(B)

-cos(A+B) = sin(A)*sin(B) - cos(A)*cos(B)

cosC = (h/b)*(h/a) - (e/b)*(d/a)

cosC = (h^2)/ab - de/ab

cosC = (h^2 - de)/ab

^ - знак степени, если что 

Что делать с de? Гуманитарии скажут, что тупик, но мы, физматы, народ самоуверенный, поэтому вспомним формулу квадрата суммы.

c = d + e

c^2 = (d + e)^2

c^ 2 = d^2 + 2de + e^2

Просто выразим de:

2de = c^2 - d^2 - e^2

de = (c^2 - d^2 - e^2)/2

Подставим:

cosC = (h^2 - (c^2 - d^2 - e^2)/2)/ab

Банально приведем к общему знаменателю и раскроем скобки:

cosC = (2h^2 - c^2 + d^2 + e^2)/2/ab

cosC = (2h^2 - c^2 + d^2 + e^2)/2ab

Тупо по свойству пропорции:

2h^2 - c^2 + d^2 + e^2 = 2ab*cosC

2h^2 = h^2 + h^2 - расписал для наглядности

h^2 + d^2 + h^2 + e^2 - c^2 = 2ab*cosC

По теореме Пифагора:

h^2 + d^2 = a^2

h^2 + e^2 = b^2

Тогда:

a^2 + b^2 - c^2 = 2ab*cosC

a^2 + b^2 = 2ab*cosC + c^2

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними

ч.т.д. 

[MrOxide]

2 минуты назад, Samuraiii сказал:

Доказательство мое, больше нигде не нашел

a b c - стороны

A B C - углы(если кто любит придираться, то все даны в градусах)

h - высота

c = d + e

В данном треугольнике:

cosB = d/a, sinB = h/a

cosA = e/b, sinA = h/b

Угол С = 180 - (A + B)

Тогда cosC =cos(180 - (A + B)) 

cos(180 - (A + B)) = -cos(A+B)

Наглядно можно увидеть на тригонометрической окружности, если кто не шарит:

cos(A+B) = cos(A)*cos(B) - sin(A)*sin(B)

-cos(A+B) = sin(A)*sin(B) - cos(A)*cos(B)

cosC = (h/b)*(h/a) - (e/b)*(d/a)

cosC = (h^2)/ab - de/ab

cosC = (h^2 - de)/ab

^ - знак степени, если что 

Что делать с de? Гуманитарии скажут, что тупик, но мы, физматы, народ самоуверенный, поэтому вспомним формулу квадрата суммы.

c = d + e

c^2 = (d + e)^2

c^ 2 = d^2 + 2de + e^2

Просто выразим de:

2de = c^2 - d^2 - e^2

de = (c^2 - d^2 - e^2)/2

Подставим:

cosC = (h^2 - (c^2 - d^2 - e^2)/2)/ab

Банально приведем к общему знаменателю и раскроем скобки:

cosC = (2h^2 - c^2 + d^2 + e^2)/2/ab

cosC = (2h^2 - c^2 + d^2 + e^2)/2ab

Тупо по свойству пропорции:

2h^2 - c^2 + d^2 + e^2 = 2ab*cosC

2h^2 = h^2 + h^2 - расписал для наглядности

h^2 + d^2 + h^2 + e^2 - c^2 = 2ab*cosC

По теореме Пифагора:

h^2 + d^2 = a^2

h^2 + e^2 = b^2

Тогда:

a^2 + b^2 - c^2 = 2ab*cosC

a^2 + b^2 = 2ab*cosC + c^2

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними

ч.т.д. 

Ух, что пошла тут уже и школа, где делаем и помогаем с уроками, хе-хе)

[Samuraiii]

Только что, MrOxide сказал:

Ух, что пошла тут уже и школа, где делаем и помогаем с уроками, хе-хе)

это больше смахивает на какое-то олимпиадное задание, чем на обычное дз

[MrOxide]

1 минуту назад, Samuraiii сказал:

это больше смахивает на какое-то олимпиадное задание, чем на обычное дз

Понятно.

[Hibbe]

3 часа назад, Samuraiii сказал:

Доказательство мое, больше нигде не нашел

a b c - стороны

A B C - углы(если кто любит придираться, то все даны в градусах)

h - высота

c = d + e

В данном треугольнике:

cosB = d/a, sinB = h/a

cosA = e/b, sinA = h/b

Угол С = 180 - (A + B)

Тогда cosC =cos(180 - (A + B)) 

cos(180 - (A + B)) = -cos(A+B)

Наглядно можно увидеть на тригонометрической окружности, если кто не шарит:

cos(A+B) = cos(A)*cos(B) - sin(A)*sin(B)

-cos(A+B) = sin(A)*sin(B) - cos(A)*cos(B)

cosC = (h/b)*(h/a) - (e/b)*(d/a)

cosC = (h^2)/ab - de/ab

cosC = (h^2 - de)/ab

^ - знак степени, если что 

Что делать с de? Гуманитарии скажут, что тупик, но мы, физматы, народ самоуверенный, поэтому вспомним формулу квадрата суммы.

c = d + e

c^2 = (d + e)^2

c^ 2 = d^2 + 2de + e^2

Просто выразим de:

2de = c^2 - d^2 - e^2

de = (c^2 - d^2 - e^2)/2

Подставим:

cosC = (h^2 - (c^2 - d^2 - e^2)/2)/ab

Банально приведем к общему знаменателю и раскроем скобки:

cosC = (2h^2 - c^2 + d^2 + e^2)/2/ab

cosC = (2h^2 - c^2 + d^2 + e^2)/2ab

Тупо по свойству пропорции:

2h^2 - c^2 + d^2 + e^2 = 2ab*cosC

2h^2 = h^2 + h^2 - расписал для наглядности

h^2 + d^2 + h^2 + e^2 - c^2 = 2ab*cosC

По теореме Пифагора:

h^2 + d^2 = a^2

h^2 + e^2 = b^2

Тогда:

a^2 + b^2 - c^2 = 2ab*cosC

a^2 + b^2 = 2ab*cosC + c^2

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними

ч.т.д. 

Сделаешь также но уже на теорему Пифагора?

[Samuraiii]

2 минуты назад, Hibbe сказал:

Сделаешь также но уже на теорему Пифагора?

Теорема Пифагора - следствие теоремы косинусов

Косинус 90 градусов равен 0, т.е. 2ab*cosC тупо убирается 

[Щербатый бесстыдник]

Математика - лженаука

[Samuraiii]

1 минуту назад, Щербатый бесстыдник сказал:

Математика - лженаука

не то что ИЗО... 

[Hibbe]

Только что, Samuraiii сказал:

не то что ИЗО... 

ненавидел его?

[Samuraiii]

1 минуту назад, Hibbe сказал:

ненавидел его?

мы на нем часто ничего не делали или нам 5 просто так ставили 

[nickich_09]

давайте без синусов и косинусов пожалуйста 😔😔

[Samuraiii]

1 час назад, nickich_09 сказал:

давайте без синусов и косинусов пожалуйста 😔😔

Но они же прекрасны!

[quark-gluon plasma]

2 hours ago, nickich_09 said:

давайте без синусов и косинусов пожалуйста 😔😔

почему без них?

[nickich_09]

6 часов назад, quark-gluon plasma сказал:

почему без них?

у меня на них аллергия, сразу плакать начинаю 

[quark-gluon plasma]

Just now, nickich_09 said:

у меня на них аллергия, сразу плакать начинаю 

зря ты так

[Samuraiii]

8 часов назад, nickich_09 сказал:

у меня на них аллергия, сразу плакать начинаю 

Как же ты живешь

[nickich_09]

10 часов назад, quark-gluon plasma сказал:

зря ты так

нет не зря, я их боюсь

2 часа назад, Samuraiii сказал:

Как же ты живешь

сам не знаю

[Samuraiii]

Up

[Samuraiii]

Up

[Samuraiii]

up

[Samuraiii]

up

[Samuraiii]

Up